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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3: Sucesiones

11. Encuentre p>0p>0 sabiendo que existe y es positivo el limnn2(np+7np+2) \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\sqrt{n^{p}+7}-\sqrt{n^{p}+2}\right)

Respuesta

Vamos a ver cómo podemos pensar este problema, seguime en este razonamiento. Nosotrxs queremos encontrar p>0p > 0 para que este límite sea positivo:

limnn2(np+7np+2)\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\sqrt{n^{p}+7}-\sqrt{n^{p}+2}\right)

Entonces, calculemos el límite y al final veamos qué le tenemos que pedir al resultado para asegurarnos que nos de un número positivo. Fijate que independientemente del valor de pp estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito menos infinito" con raíces blabla, multiplicamos y dividimos por el conjugado, no? Nos queda en principio algo así:

limnn2(np+7)2(np+2)2np+7+np+2 \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \cdot \frac{(\sqrt{n^{p}+7})^2 - (\sqrt{n^{p}+2})^2}{\sqrt{n^{p}+7}+\sqrt{n^{p}+2}} Al simplificar, obtenemos: limnn2np+7(np+2)np+7+np+2 \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \cdot \frac{n^{p}+7 - (n^{p}+2)}{\sqrt{n^{p}+7}+\sqrt{n^{p}+2}} =limn5n2np+7+np+2 = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5n^2}{\sqrt{n^{p}+7}+\sqrt{n^{p}+2}}

Bueno, ahora estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito". Sacamos factor común el que manda y arrancamos adentro de la raíz ¿A quién vamos a sacar como factor común? A npn^p

=limn5n2np(1+7np)+np(1+2np)=limn5n2np/21+7np+np/21+2np = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5n^2}{\sqrt{n^{p}(1+\frac{7}{n^{p}})}+\sqrt{n^{p}(1+\frac{2}{n^{p}})}} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5n^2}{n^{p/2}\sqrt{1+\frac{7}{n^{p}}}+n^{p/2}\sqrt{1+\frac{2}{n^{p}}}}

Atenti ahí en ese paso cuando distribuimos la raíz, acordate que tener raíz cuadrada de algo es lo mismo que tenerlo elevado a la potencia 12\frac{1}{2}

Ahora sacamos factor común np/2n^{p/2}

=limn5n2np/2(1+7np+1+2np) = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5n^2}{n^{p/2}(\sqrt{1+\frac{7}{n^{p}}}+\sqrt{1+\frac{2}{n^{p}}})}

Y ahora, importante acá este paso no te me pierdas. Nos quedó n2n^2 arriba y np/2n^{p/2} abajo. Si la potencia del numerador es más grande, ese límite nos va a dar infinito. Si, en cambio, la potencia del denominador es más grande, entonces ese límite nos va a dar cero. Y si el grado es el mismo, nos va a dar un número. Exacto, nosotros lo que queremos es que este límite nos de un número positivo, no queremos que se vaya a infinito ni nos de cero. Te das cuenta entonces que, necesariamente, la nn del denominador tiene que estar al cuadrado? Es decir,

p2=2\frac{p}{2} = 2

p=4p = 4

Entonces, si p=4p = 4 este límite nos da un número positivo, en particular nos da 52\frac{5}{2}. En cualquier otro caso, este límite nos daría cero o infinito, que no es lo que queremos. Se entendió?
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ExaComunidad
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Pablo
24 de abril 19:51
Hola, Flor! Consulta: El limite no deberia ser 5? Porque los coeficientes son 5 arriba y 1 abajo o no?
Flor
PROFE
25 de abril 8:37
@Pablo Hola Pablo! Nono, mirá, te quedaría así. Si p=4p = 4, el exponente de la nn del denominador es un cuadrado y te queda:

limn5n2n2(1+7n2+1+2n2) \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5n^2}{n^{2}(\sqrt{1+\frac{7}{n^{2}}}+\sqrt{1+\frac{2}{n^{2}}})}

Simplificas los n2n^2

limn5(1+7n2+1+2n2) \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5}{(\sqrt{1+\frac{7}{n^{2}}}+\sqrt{1+\frac{2}{n^{2}}})}

Y ahora el numerador tiende a 55 y el denominador tiende a 22, lo ves? Por eso el resultado del límite es 5/25/2

Avisame si ahora quedó claro :)
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